我国放射科大佬,杨正汉教授在入门教材《磁共振成像技术指南》弱化了k空间,是写给技师和医生的通俗讲法,
但,与极化码的原理一样,k也是很重要的一个存在,可以推倒公式。
k空间的坐标是k=ygt,g是不变的常数,t是时间,
那么,深入数学本质
傅里叶在1807年就宣称,任何一个周期函数都可以视作一系列不同频率振幅的正弦波的叠加。给出了名叫傅里叶级数的公式。
接下来我们要讲一讲正交基。
正交和基。
基是一个单位量,高中学过,两个垂直向量相乘为0,翻过来也一样,向量相乘有一个更高级的叫法,内积。
在傅里叶级数里,任何一项和除自己外的其余项内积都为0但s(wt)和它自己的内积结果为π。
说明s、s、和1正是这个数学空间里的一组正交基,这个性质可以用来求正交基的系数。
傅里叶变换公式里,知道时域信号就能知道频域信号。
那么,反傅里叶变换公式就和磁共振信号的表达式一一对应。
由公式回到现实,大脑是三位的,有三个方向的信息,那么,就要用到多维傅里叶变换。
变成二维傅里叶变换。
那么,就出现一个平面波。
平面波取消了k,不是时域信号,而是空域信号。
在这里,波随空间位置变化而变化。
将一张图像里每个像素的亮度用高度来表达,就能理解这句话。幅度随位置空间的变化而变化。
任何一个复杂的周期信号都可以分解成一系列正弦波的叠加。只不过这里是正弦波的二维平面波。平面波叠加无法像一维那样直观,但我们能得到二维傅里叶级数。
接着,推广到非周期的平面波信号,就是二维傅里叶反变换。
同理可以得到三维反傅里叶级数。
无限个空间频率的平面波叠加的结果,就是横面灰度值。
如果算出其他位置的结果,就得到了一张图像。
但磁共振信号是时域信号,第一步将它变成空间频率信号,然后用梯度磁场,决定信号大小。hr
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